V předcházejícím článku jsme nakousli teorii her v dopravě. V návaznosti
na to se dnes podíváme na mikroskopické modely dopravy a na závěr přidáme
pár zajímavostí.
První článek série je zde.
Modely
Analytické modely
Úplně první modely dopravy vycházely z podobnosti s prouděním tekutiny.
Co se na jedné straně do trubky nacpe, to musí na druhé straně vypadnout.
Co se děje mezi tím, bylo předmětem bádání. První takové modely (teď myslím
ty dopravní) pocházejí z 50. let 20. století. Analogie není úplně dokonalá,
ale užitečná jistě je. Lidé zabývající se prouděním kapaliny vědí, že při
určité konfiguraci potrubí (např. změna průřezu) můžou nastat problémy
(turbulentní proudění na ostrých hranách apod.) a světe div se, při obdobné
konfiguraci na silnici nastávají taky problémy.
Rád bych tu vypíchnul analogii s laminárním/turbulentním prouděním kapaliny.
Z hlediska úspornosti přenosu kapaliny (kolik energie spotřebujeme na přenos
kapaliny potrubím) je nejlepší dostat se do režimu laminárního proudění.
Při turbulentním proudění vznikají víry, které kapalinu brzdí a spotřebovávají
energii. Projevují se potom vibracemi potrubí, někdy slyšitelnému lidským
uchem (nekvalitní vodovodní baterie bývají hodně hlučné), v nejhorším případě
to může skončit i poškozením potrubí. Souvisí s tím i kavitace. Stejně
tak v dopravě, pokud se někde stává hodně dopravních nehod, je to v režimu
turbulentního proudění.
Tyto modely se řadí mezi makroskopické modely dopravy, neberou se do
úvahy jednotlivá auta, ale počítá se masa aut. Z konstrukce modelu plyne,
že se dá aplikovat jen v případě, že jedno auto je zanedbatelné s celkovým
množstvím aut (stejně jako molekula kapaliny je nicotná ve srovnání s celkovým
množstvím).
Počítačové modely
Na rozdíl od prvních makroskopických modelů umožnily počítače modelovat
dopravu i na mikroskopické úrovni, kde se uvažuje i působení jednotlivých
vozidel navzájem. Pro modelování je nezbytné mít pro interakci aut definována
pravidla, která aspoň přibližně popisují chování řidiče. Samozřejmě, že
čím jsou lepší počítače, tím podrobnější (a výpočetně náročnější) model
si můžeme dovolit.
Diskrétní modely
První počítačové modely dopravy pocházejí z 90. let 20. století, kdy
počítače doputovaly i k dopravním inženýrům. Dnes možná vyloudí úsměv či
úšklebek na tváři, ale přes svoji jednoduchost docela dobře fungovaly.
Motivací pro tyto modely bylo zkoumání přechodu mezi různými režimy dopravy
-- od plynulého (laminárního) toku k tzv. “stop and go traffic” (prostě
dopravní zácpa). V angličtině se označují názvem cellular automata model
(což mi spíš připomíná Turingův stroj), případně lattice models (což je
popisnější název). Vypadá nějak takto: máme dlouhou řadu políček (jako
třeba ve hře člověče, nezlob se), mezi kterými se auta pohybují jedním
směrem (podle konvence se tento směr nazývá vpřed). Já navrhuji překlad
žebříčkový model, protože názornou představu dostanete, když položíte na
zem žebřík (příčky jsou hranice mezi políčky). Na každém políčku stojí
maximálně 1 auto a auta se nemohou přeskakovat. Pohyb aut se odehrává diskrétně
(nespojitě), po tazích, v každém tahu se každé auta posune vpřed o několik
polí nebo zůstane stát podle předem daných pravidel. Například v průkopnickém
a často citovaném článku [1] byla tato jednoduchá pravidla pro pohyb aut:
1.Zrychlení - pokud je před autem volno, zvyšuje rychlost o 1, přičemž
je dána nějaká maximální rychlost (například 5 polí za 1 tah), přes kterou
se již nezrychluje.
2.Zpomalení - pokud není před autem tolik volných polí, aby mohl pokračovat
původní rychlostí, zpomalí nebo zastaví tak, aby skončil těsně za předchozím
autem.
3.Prvek náhody - s nějakou malou pravděpodobností sníží auto nově spočítanou
rychlost o 1 (ale nesmí se jít do záporu). Pravděpodobnost je samozřejmě
dána předem.
Pravidla jsou celkem přirozená a trošku připomínají chování živého řidiče
(když si odmyslíme ty, kteří nedobrzdí). Jistě jste si všimli, že se tu
nemodeluje předjíždění, jsme jen v jednom pruhu. Chování modelu záleží
na dalších nastaveních, zejména:
- jak se do modelu nasazují auta -- můžou se a) nasazovat na jedné straně
a na druhé pak vypadávají nebo b) je model uzavřený dokola a pak stačí
před prvním tahem rozmístit nějaké rozumné množství aut.
- hustota aut – v případě a) v předchozím bodě se může měnit v čase
přepočítávání rychlosti do následujícího tahu -- v některých modelech
se spočítaly rychlosti všech aut a pak se posunuly (jako v [1]), v jiných
modelech se přepočítala rychlost a hned se s daným autem pohnulo (a záleží
na tom, jestli se postupuje zepředu dozadu nebo naopak).
Programátora určitě bude zajímat, že program článku [1] byl naprogramován
ve Fortranu a ač se nám model zdá výpočetně jednoduchý, autoři řešili,
jak rychle to poběží při různých implementacích. Model velmi dobře simuloval
to, k čemu byl stvořen. V článku si můžete prohlédnout obrázky. Podobných
modelů najdete dnes na internetu hodně (klíčová slova jsou: traffic jam
simulation) a některé dokonce fungují i v okně prohlížeče, takže si je
můžete hned prohlédnout [např. 4, 5, 6, 7]. Pokud požadujete něco realističtějšího,
než simulace (jako třeba zgreL), viz [8].
Diskrétní modely byly v průběhu času značně vylepšeny (více pruhů, předjíždění,
předjíždění na obousměrné silnici apod.) a s ohledem na výpočetní jednoduchost
dávají dobré výsledky.
Spojité modely
Od dob prvních modelů dopravy uběhla už hodně vody, počítače jsou výkonnější
a vznikly podrobnější modely, které uvažují více jízdních pruhů, jsou spojité
a berou do úvahy více veličin, většinou to je aktuální rychlost vozidla,
rychlost předchozího vozidla, vzdálenost předchozího vozidla a v některých
modelech i vzdálenost vozidla za sebou (taky přišlápnete plyn, když se
na vás lepí náklaďák?). Tyto modely se nazývají spojité, i když technicky
jsou asi taky diskrétní, ale s jemnějším rozlišením, než diskrétní. Pokud
jde o pokročilý simulační software, existuje na trhu jenom pár firem, takže
není moc na výběr.
Mezi nejznámější programy patří
VISSIM - německý program, myslím, že v ČR má dominantní postavení (používá
ho např. firma CityPlan)
Aimsun - španělský (pokud se Katalánsko ještě netrhlo), před lety jsem
ho testoval a byl docela schopný, ale pořád ne tak rozsáhlý jako VISSIM
MITSIMLab - open source program z MIT
Všechny tyto programy jsou krásně klikací, umožňují malovat krásné
obrázky ve velkém rozlišení, takže není problém modelovat opravdu každý
detail silnice - v podstatě všechno co vidíte na vizualizacích plánovaných
staveb (včetně obrázků okolí). Dá nastavit opravdu mnoho parametrů pohybujících
se vozidel (různé druhy vozidel, charakteristiky zrychlení a brzdění atd.).
Při malé simulaci se dají autíčka zobrazovat v reálném čase, lepší než
televize.
Diagramy dopravního toku
Poznámka k názvosloví: dopravní inženýři používají pojmy, které známe
z fyziky, ale většinou hodně volně a někdy i tak nesmyslně, že to není
ani vzdáleně analogie fyzikálního pojmu. V tomto článku budu používat tyto
definice
tok (dopravy) -- počet aut, které projedou všemi pruhy silnice za jednotku
času (většinou se udává za hodinu)
intenzita (dopravy) – tok jedním pruhem (tok vydělený počtem pruhů).
hustota (dopravy) – počet aut v pruhu na jednotku délky silnice (většinou
se uvádí na kilometr). Odpovídá rozestupům mezi auty (nepřímo úměrně).
V tomto oddíle si řekneme něco o dvou nejpoužívanějších diagramech,
které slouží k přehlednému popisu situace na silnici. Oba se používají
jak pro znázornění naměřených dat, tak pro výsledky simulace.
Prvním z diagramů je časoprostorový diagram (space-time diagram). Viz
obrázek (zdroj: http://en.wikibooks.org/wiki/File:TimeSpaceDiagram.png,
k vidění na stránce [11])
Slouží ke zobrazení pohybu jednotlivých vozidel na úseku silnice. Každému
auto odpovídá jedna čára (tady jsou označené jinou barvou). Podle sklonu
čáry poznáme rychlost vozidla, rozestupy ve svislém a vodorovném směru
odpovídají prostorové a časové vzdálenosti vozidel. Pokud se auta nepředjíždějí,
tak se čáry nikdy neprotnou (a při troše štěstí se nepřiblíží na vzdálenost
menší, než rozměr auta). Pokud si uvědomíte, kolik bodů je potřeba k vykreslení
grafu, tak je asi jasné, že získání vhodných měřených dat je docela náročné
(v podstatě se musí sledovat každé auto a poznamenat si jeho pozici v každém
časovém kroku měření). Skutečný diagram si prohlédněte třeba v [1], ale
je otočený od 90 stupňů (průsečík os je vlevo nahoře).
Druhým diagramem je diagram dopravního toku (traffic flow). Ten má
naopak statistický charakter. Znázorňuje závislost toku na hustotě dopravy.
V případě jednoho pruhu je to přímo závislost hustota-intenzita, u více
pruhů se musí spočítat průměrná hustota za všechny pruhy. Idealizovaný
graf vidíte na obrázku (zdroj: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Flow_Density_Relationship.png,
k vidění na stránce [10]).
Na vodorovné ose je hustota a na svislé ose je intenzita dopravy. Samotná
křivka je ten kopeček vlevo prudký, vpravo trochu méně. Jistě jste si všimli,
že pro jednu hodnotu intenzity (svislá osa) máme 2 možné hodnoty hustoty
a ptáte se, v čem se liší? Liší se v rychlosti aut. Obecně se dá říct,
že čím jsme v grafu víc vpravo, tím pomaleji auta jedou.
Možná je na první pohled nepochopitelné, že hustota je zde nezávislá
veličina. Pro laika to může být matoucí. Po příčinách tohoto způsobu jsem
nepátral, nejspíš to má co do činění s faktem, že graf má pro každou hodnotu
hustoty nejvýš jednu hodnotu intenzity (je to graf funkce).
Projdeme si graf od začátku.
Graf začíná v bodě 0. Když je nulová hustota, je i intenzita nulová
(žádné auto neprojede, protože tam žádné není). Při malých hustotách roste
zhruba přímo úměrně hustotě. Auta mají mezi sebou velké vzdálenosti, nepřekážejí
si, není problém s bezpečnými odstupy.
Při trošku větších hustotách si auta začínají překážet, takže aby byly
rozestupy (dané hustotou) bezpečné, musí snížit rychlost. Křivka se ohýbá
dolů.
Kolem kritické hustoty (svislá čárkovaná čára) je intenzita maximální,
ale auta si začínají dost překážet. Křivka se definitivně ohne dolů a už
bude jenom klesat.
S rostoucí hustotou klesá i intenzita. Rychlost vozidel klesá. Dá se
mluvit o dopravní zácpě.
Při hodně velkých hustotách je intenzita opět skoro nulová, protože
auta prostě nejedou. Křivka by měla správně končit kousek před bodem “Jam
density”, protože tam už je hodě nepřesná a v podstatě se nedá změřit (nenajdeme
dost velký homogenní úsek, kde se dá křivka naměřit), jediná jistota je,
že zhruba při hustotě 1 auto na 7,5 metru auta stojí.
Pokud je hustota menší, než kritická, je doprava stabilní, tj. náhodné
miniaturní zácpy mají tendenci se rozplynout a není problém odhadnout jízdní
dobu. Nad kritickou hustotou je doprava nestabilní, náhodné shluky aut
mají tendenci se zvětšovat (zezadu k nim přijíždí více aut, než stihne
vepředu odjet), to už je však pole teorie katastrof. Pro cestovatele to
má tu nevýhodu, že neví, kdy dojede – zácpa se nemusí objevit a pak dojede
vcelku brzo, ale může se objevit i zácpa na desítky minut, viz [9, 10].
Měření časoprostorové křivky je zdlouhavá práce, protože s každým měřením
dostanete jeden bod v grafu. Abyste mohli interpolovat křivku, je potřeba
několik desítek takových bodů. Jeden takový obrázek najdete v [1]. Zbývá
dodat, že takový naměřený graf nemá univerzální platnost. Může se lišit
pro různé úseky silnic a různé situace (počet pruhů, druh vozidel, schopnosti
řidičů, počasí atd.).
Na grafu je vidět rozdíl mezi optimem pro jednotlivce a optimem systému.
Pro jednotlivce je ideální, když je na silnici sám, nebo aspoň na začátku
křivky (mezi 0 a kritickou hustotou), kde nemusí brzdit kvůli ostatním
autům. Pro systém je optimální něco kolem kritické hustoty (pokud by šlo
o soukromou silnici, kde se vybírá mýto, je kritická hustota optimum, pro
veřejnou silnici je to složitější—už z důvodu, že stát se o nějaké optimum
nestará—do výpočtu bych minimálně přidal náklady na čas strávený při přepravě).
Zajímavé jevy v dopravě
V tomto oddíle ukážu dva zajímavé jevy, které na silnici každý den potkáváte
(jak kdo).
Fantómové zácpy
Nejprve se zaměříme na jednoduchý případ jízdy v jednom pruhu. Připomeňme
si, jak řidič mění rychlost svého automobilu. Pokud má před sebou volno,
snaží se jet nějakou maximální rychlostí (+- daná maximální povolenou rychlostí).
Pokud vepředu není volno (jiné auto nebo překážka na silnici), řidič zpomaluje
na základě vlastní rychlosti, vzdálenosti k vozidlu vepředu, rychlosti
vozidla vepředu a možná i jiných vlivů. Každý řidič má jiné preference
(někdo brzdí raději později, ale razantněji, někdo brzdí, jakoby vezl akvárko,
někdo veze akvárko atd.), stejně to je se zrychlením. A nesmíme zapomenout
na náhodné fluktuace. Navíc všechny veličiny řidič odhaduje, takže je jasné,
že co řidič, to jiný způsob jízdy, z čehož pramení různé nesnáze na silnicích.
Výsledkem je jev, kterému se říká “phantom traffic jam”. Při znázornění
v časoprostorovém diagramu uvidíte nahuštění světočar, které se zvolna
pohybuje proti směru pohybu aut. Pro řidiče to vypadá tak, že jsou nuceni
zpomalit nebo i zastavit a rozjedou se až odjedou předchozí auta. Pěkné
příklady můžete vidět např. v článku [1, 3. obrázek], případně [9] (ale
jsou tam obrázky přejaté z [1]), dále také v [8]. Ke vzniku takové zácpy
je potřeba dost velká hustota aut na silnici (nad kritickou hustotou, viz
výše).
Zajímavé je, že taková dopravní zácpa má samoregulující účinek--auta,
které vepředu vyjíždějí mají takové rozestupy (hustota je někde kolem kritické
hustoty), že nové náhodné shluky aut jsou mnohem méně pravděpodobné (to
platí do první křižovatky, kde se připojí další auta). Z tohoto pohledu
je dobré vybírat mýtné před tunely a mosty klasickou pomalou cestou (závora
+ okénko), protože se přirozeně omezuje intenzita provozu v tunelu a tudíž
se zmenšuje riziko dopravních nehod.
Na internetu najdete k fantómovým zácpám plno vysvětlení a filmů, např.
[7, 8].
V reálu samozřejmě jezdíme po více pruhových silnicích, takže situace
je malinko komplikovanější, ale vše řečené výše se dá aplikovat.
Otázka zaplnění pruhů
Má-li silnice více pruhů, je zajímavé sledovat, jaká je hustota provozu
v jednotlivých pruzích, popišme si typické rozdělení na dálnici se dvěma
pruhy:
Při malé intenzitě je hustota v levém pruhu velmi malá, auta ho využívají
jen na předjetí. (Neplatí pro naše dálnice, tam se při malé intenzitě provozu
vyplatí jet v levém pruhu, protože to míň drncá.)
Při větší intenzitě se hustota v levém pruhu zvětšuje. Předjíždějící
auta, se nezařazují hned, ale teprve po předjetí více vozů. Zároveň se
v levém pruhu tvoří hloučky (spíš vláčky) aut.
Se zvětšující se intenzitou se hustota v levém pruhu dále zvyšuje a
řidiči se zdráhají vracet do pravého pruhu, protože by se nemuseli dostat
do levého pruhu, kdyby potřebovali znovu předjíždět. Vzniká něco, čemu
říkám inverzní zaplnění (hustota). V levém pruhu je vetší hustota, než
v pravém. Levý pruh však jede stále rychleji, než pravý.
S ještě větší intenzitou se hustota i rychlost pruhů srovná. Může dojít
i ke kolapsu dopravy (lidově zvané parkoviště). Pokud jste škodolibí a
rádi se díváte na cizí neštěstí, na [12] najdete pár fotek dopravních zácp.
To by bylo pro dnešek všechno. V zásobě mám povídání o problematice
plánování silniční sítě s ohledem na plynulost dopravy. Bude tam víc obrázků.
Odkazy
1.A cellular automaton model for freeway traffic, K Nagel, M Schreckenberg
- J. Phys. I France, 1992 - http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/24/66/97/PDF/ajp-jp1v2p2221.pdf.
Model z tohoto článku je znám pod názvem Nagel-Schreckenberg model.
2.Nagel-Schreckenberg model na wikipedii: http://en.wikipedia.org/wiki/Nagel-Schreckenberg_model
3.Domácí stránka Kai Nagela - http://www.inf.ethz.ch/personal/nagel/
4.Model generující časoprostorový diagram - http://sjsu.rudyrucker.com/~han.jiang/applet/
5.Model s autíčky (stojí za vyzkoušení) - http://vwitme011.vkw.tu-dresden.de/~treiber/MicroApplet/
6.Model generující časoprostorový diagram - http://www.horstmann.com/applets/RoadApplet/RoadApplet.html
7.Povídání o fantómových zácpách - http://www.ce.berkeley.edu/~daganzo/explain2.html
8.Článek o fantómových zácpách, včetně reálných měření a videí - http://iopscience.iop.org/1367-2630/10/3/033001/,
video z článku na youtube: http://www.youtube.com/watch?v=Suugn-p5C1M,
9.Zákeřné dopravní zácpy, František Slanina, Vesmír 76, 545, 1997/10.
Na webu http://www.vesmir.cz/clanky/cislo/cislo/84
(jen pro předplatitele).
10.Wikipedie: Traffic flow - http://en.wikipedia.org/wiki/Traffic_flow
11.Wikikniha Fundamentals of Transportatio: Traffic flow - http://en.wikibooks.org/wiki/Fundamentals_of_Transportation/Traffic_Flow
12.Fotky z dopravních zácp -
http://www.flickr.com/photos/51744270@N04/
23.9.2010 TP